旋转变换 | InverseDa Blog

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二维旋转矩阵

考虑两个向量和，设旋转矩阵为，就需要满足：

因此可以得出，旋转矩阵是一种正交矩阵，满足：

并且满足：

为什么旋转矩阵的行列式为1？这是因为行列式本质是一种缩放因子，而旋转矩阵是一种变换坐标基的操作，所以也就是相当于旋转了坐标系，因此并没有发生缩放，所以值就是1。

另外，任何旋转矩阵都可以写成反对称矩阵A的指数：

反对称矩阵是一种转置矩阵和自身加法逆元相等的矩阵，简单来讲：

在维空间内，上述结论仍然成立，这里不展开证明了（非常简单）

那具体在二维情况下旋转矩阵的值是多少呢？

二维情况下，旋转矩阵是一种关于旋转角度的函数（矩阵是可以定义为函数的，类似于透视函数）：

证明如下：

假设从旋转到：

从而推出：

写成线性变换的形式：

这就是二维旋转矩阵了，可以验证这个矩阵满足行列式为1.

三维旋转矩阵

三维旋转的复杂度会大大提高，主要是需要确定旋转轴。在二维上的旋转，只有绕z轴旋转（这里暂时不引入OpenGL的标架）的情况。但在三维，会有饶x、y、z轴旋转的情况。其实推导很简单，就是类似于二维旋转。

并且，三维旋转可以细分为旋转矩阵表示、欧拉角表示和四元数表示。

旋转矩阵表示

如果用旋转矩阵表示，需要分三种情况：饶x、y、z轴旋转的情况

欧拉角

如果用欧拉角表示，则需要定义三个欧拉角roll（）、pitch（）和yaw（）：

在三维情况下旋转可以用欧拉角表示。可分为动态欧拉角和静态欧拉角，两者均有万向节死锁问题。

欧拉角的定义基于旋转矩阵，它规定了物体的旋转次序只能有xyz的组合，即：xyz，xzy，yzx，yxz，zxy，zyx。这里举的例子是xyz。

静态欧拉角

静态欧拉角是根据世界坐标系的三个坐标轴xyz为基准进行旋转的，这三个坐标轴是不会变化的，始终是相互正交的，因此可以这样描述静态欧拉角：

计算得出：

一个有趣的数学现象，所有静态欧拉角的旋转矩阵，如果我们把矩阵的列单独拿出来看，可以发现矩阵的三个列分别对应了旋转之后的xyz轴分别在原本的xyz轴上的映射的分量。

万向节死锁

那为什么静态欧拉角会发生万向节死锁呢？坐标轴不是固定的吗？按理来说不应该出现自由度消失的情况。

其实我们一直都理解错了。欧拉角一个重要的概念就是，他每次的旋转变换都是以最初的姿态为初始状态变换的。我们从数学上和本质上去理解为什么会出现万向节死锁。

数学

假设先沿着x轴旋转，然后沿着y旋转90度，最后绕z轴旋转，其欧拉角用旋转矩阵表达为：

这里比较直观的发现，最后的结果不包括了，这说明我旋转的情况和z轴无关，我仅仅通过x和y就能得到这样的结果。

本质

欧拉角一个重要的概念就是，他是一个完整的变换。也就是每次变换，都要经过的乘法操作。什么意思呢？假如初始状态顶点坐标为，三个欧拉角为，我们要旋转到，那么就需要一个个操作，操作次序也就是：

可以发现被变换对象一直都是，说明不是在原有的基础位姿上变换的！

然后旋转到，也是同样的道理：

然后我们会发现每一个操作，都要先重新绕x轴旋转一次。虽然很冗余，但这是欧拉角旋转的定义。并且这也间接的告诉我们接下来的关键问题。

将旋转到，操作次序：

看出来了？其实不是在你原有的欧拉角基础变换后的位置计算旋转，他要重新通过你最初始的姿态计算一遍。这个时候我们发现，假设，我们是在y调整之前，先调整的x旋转。也就是当y的角度还没到90度的时候，先调整的x。这和我们预期不符合，最终姿态看样子像是绕着z轴旋转了（因为经过y轴旋转90度之后的z轴和原来的x轴重合了）。这就是万向节死锁。

操作次序只是为了方便理解，让你知道欧拉角旋转始终是从初始姿态计算的，实际上程序直接计算最后一步。

下面是两个简单的解释：

简单来说，你以为旋转的结果是：X（10）Y（90）X（10）
实际上的游戏引擎计算的结果却是：
X（10）X（10）Y（90）
或者：
X（20）Y（10）
（这里的XYZ不是R_XR_YR_Z，只是表达一下直觉上的感受）

你想要的顺序:X1→Y→Z→X2 实际顺序:X1→X2→Y→Z 欧拉角本身不是问题，用欧拉角这个状态表示方式去表示了过程才导致了问题

动态欧拉角

动态欧拉角是根据自身物体的坐标轴为基准实现的旋转。可以用陀螺仪表示：

陀螺仪的三个环表示三个轴，他们不是始终固定的，根据物体的姿态调整，这就意味着存在两个环可能会重叠（平行）。另外外环会带动内环旋转，这与旋转次序是类似的。

在随着物体转动的坐标系下描述该问题非常方便。正如上面的石雕所示，我们取y,x,z的顺序依次绕轴旋转：

首先是绕y轴旋转任意角度，可以认为是原地转圈

接着绕着x轴旋转 90 度或者 -90 度，变成躺平或者俯瞰的姿势

这时候z轴就和最初的y轴重合了

我们称丢失了一个自由度。这种视角看物体的旋转十分便于我们想象，但是比较难用数学方式表达，因为旋转轴是变化的。

动态欧拉角与静态欧拉角互相转换（代数意义上）

接下来的问题，如何转换动态欧拉角的旋转公式？可以根据静态欧拉角转换出来。

设动态欧拉角绕自身旋转为，假设是按照x→y→z旋转的，那么就有：

即绕自身x转动，等价于绕世界x轴转动；绕y轴转动，得先撤销之前x的转动，然后绕世界y轴变换，再应用之前x的转动；绕z轴转动也是同理，先撤销y然后撤销x，应用绕世界z轴变换，再应用xy。

然后就能得到：

所以，动态欧拉角变换和静态欧拉角变换是相互反过来的！也就是自身旋转xyz，相当于绕世界转zyx。

因为静态欧拉角有万向节死锁，因为等式成立，所以动态欧拉角也有万向节死锁问题。

绕任意轴旋转矩阵（Rodrigues旋转表达 - 罗德里格旋转）

轴的方向向量为，满足（单位向量），绕旋转轴旋转的向量为，旋转后的向量为，逆时针（绕旋转轴）的旋转角度为。由旋转的模长不变性知道。

将分解为和方向（垂直于和平行于），不难得到如下关系：

构建一个新的标架，将该问题转换为在标架的旋转问题。我们假设空间是右手坐标系，那么规定并计算可得到标架：

考虑到：

绕旋转轴逆时针旋转得到的向量，将其分别分解为和（其中在平面，有；在上，有）。

由几何关系，可以得到：

代入，可以得到旋转后向量的垂直分量表达式：

因此旋转后的向量：

整理得到：

这是Rodrigues旋转的向量表示。为了得到Rodrigues旋转的矩阵表示，我们做如下的操作。

令，为了求解矩阵元，我们可以采用特殊值的方法，令，且：

先计算得到：

于是：

同理，令和，能够得到最终的旋转矩阵：

四元数

四元数由两部分组成：一个向量以及一个旋转角度。几何意义是表示以这个向量为轴所旋转的角度度数，如下图所示，一个四元数由向量v和标量s组成，表示以向量v为轴，旋转s角度；另外一套符号系统则是用θ表示旋转角度和u来表示旋转轴。这两个表示都是等价的：

如果我们将向量u/v的xyz三个分量拆开来写，就可以得到四个标量：这就是四元数的名字的由来：

有些地方喜欢将四元数写成：

本质上都是一样的，ijk在这里就是用来表示旋转的轴。

四元数加法很少用，只有在后面的插值才会有一定的使用。

四元数乘法代表了旋转顺序，按照顺序旋转进行前乘，例如如果先进行q1，再进行q2，那么总的旋转q就是：

为什么四元数可以解决万向节死锁

欧拉旋转的本质是将绕任意轴旋转最终分解为绕x，y，z轴的旋转，才会导致万向节死锁。而用四元数旋转可直接表示为绕任意轴旋转。通过四元数的表示方法就可以看出

四元数插值

四元数插值的方式相对比较特殊，我们不能直接简单的线性插值，按照比例将两个单位四元数加在一起：

这样的结果就是导致q(t)的长度不再是1，结果会在这条虚线上移动：

哪怕我们重新再把它的长度变回1，这个运动也不是随着角度而平滑运动的。所以我们需要用另一个方式进行插值，我们设下面的公式：

我们现在就是要接出来和，此时我们将沿着两个向量的方向进行分解，设是两个四元数之间的夹角：

根据相似三角形：

由于所有四元数都是单位四元数，长度都是1，所以：

也就是说四元数完整插值的公式是：