🗒️球谐函数
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球谐函数是一组基函数，类似于傅立叶级数和泰勒展开可以将任意的函数展开为多个三角函数或者幂函数的加权之和。这套规则，我们在学高数的时候已经学过了，并且应用在直角坐标系中：
类似的，我们可以把这套规则应用在球面坐标系上，这样这组基函数就是球谐函数：
实际上，球谐函数是拉普拉斯方程在球面坐标系中的关于的函数也就是：
解得：
而，可以知道球谐函数为
函数的正交性
球谐函数和傅立叶变换的基函数其实是一套的，都是和。一般来说基函数之间都是正交函数，这里的正交是在函数空间(function space)和向量空间(vector space)里面的广义的正交，两个正交函数在给定定义域里面的内积为0：
其实这里的概念就相当于把函数当成了无穷维度的向量，所以可以完全把函数当作一种向量。
在学向量的基底我们知道空间直角坐标系和任何空间内的向量作内积，得到的是对应基底方向的投影
比如，得到的是方向的投影长度，这样子：
函数也是同理：
所以基函数之间必须满足正交性，这样才能保证这样基函数之间是相互独立的，加权和得到的结果是准确的。
勒让德多项式
勒让德多项式是函数正交的特殊表达，又叫做正交多项式，它是下面这个微分方程的解，其中：
递推解：
常规解：
勒让德多项式的重要性质：
如果，得出的结果就是，那么这组正交多项式叫做
标准正交的。伴随勒让德多项式
伴随勒让德多项式则是由两个参数决定：
举个例子：
一般我们都不会直接求解，计算复杂度与重复度都很高，在高阶的情况时我们求解会用递推迭代的方法：
球谐函数
球谐函数是定义在球面上的：
将球谐函数记作，那么：
其中是伴随勒让德多项式，是缩放因子，用来归一化：
取值范围。
将球谐函数可视化后是这个样子的，其中绿色是正，红色是负，离中心越远的地方绝对值就越大：
会发现球谐函数都非常对成，这是因为谐波函数的对称性。实际上实球谐函数可以看成一维傅立叶变换的函数基底和的另外一种复杂版本。
下面的图告诉了我们是函数是如何通过球谐基函数通过加权和得到的：
